對于一個數(shù)a可以分解質因數(shù)：a＝a1的r1次方乘以a2的r2次方乘以a3的r3次方乘以……則a的約數(shù)的個數(shù)就是（r1＋1）（r2＋1）（r3＋1）……
　　需要指出來的是，a1，a2，a3……都是a的質因數(shù)。r1，r2，r3……是a1，a2，a3……的指數(shù)。

例題
　　有一個面積為378000平方米的長方形，其周長最多可有幾種不同的數(shù)值？
　　解：378000=2^4×3^3×5^3×7
　　共有約數(shù)(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160個。
　　所以周長有160÷2=80個不同的值。

**********************************************
    先把整數(shù)N分解成標準分解式 :
      N=[(p1)^a1]×[(p2)^a2]×[(p3)^a2]×…×[(pn)^an], (n≥1)
      如12=(2^2)×(3^1)

      則N的正約數(shù)的個數(shù)T是：
    T=(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(an+1)
      如12=(2^2)×(3^1)，T=(2+1)(1+1)=6
      也就是12有6個約數(shù)。

**********************************************

一個自然數(shù)恰好有18個約數(shù),那么它最多有多少個約數(shù)的個位是3.

答案：9

由約數(shù)個數(shù)定理，18=（1+1）×（8+1）=（1+1）×（2+1）×（2+1）=（2+1）×（5+1），1×3的尾數(shù)是1，所以18=（1+1）×（8+1）的情況最符合題意，18個約數(shù)必存在兩兩對應：一個×另一個=原數(shù)，所以如果一個個位是3，另一個必然不是，18/2=9,構造一個3×11^8

**********************************************

　　我們先來考察一個例子.

　　72有幾個約數(shù)？

　　用“兩邊夾”的方法可以找出它的全部約數(shù)：

　　1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72

　　共是12個.

　　再把72分解質因數(shù)：

　　72=2×2×2×3×3=2^3×3^2.

　　顯然

　　2^0，2^1，2^2，2^3

　　和

　　3^0，3^1，3^2

　　是72的約數(shù).由這兩組約數(shù)中的任意兩個約數(shù)的乘積當然也是72的約數(shù).即



　　一一寫出來就是：

　　2^0×3^0=1×1=1，

　　2^0×3^1=1×3=3，

　　2^0×3^2=1×9=9；

　　2^1×3^0=2×1=2，

　　2^1×3^1=2×3=6，

　　2^1×3^2=2×9=18；

　　2^2×3^0=4×1=4，

　　2^2×3^1=4×3=12，

　　2^2×3^2=4×9=36；

　　2^3×3^0=8×1=8，

　　2^3×3^1=8×3=24，

　　2^3×3^2=8×9=72.

　　有趣的是，按照這種方式得到的約數(shù)，正好得到了72的所有12個約數(shù).不是嗎？　　再細心觀察兩個例子，也許我們聰明的讀者就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律了.

　　合數(shù)：1000.

　　分解質因數(shù)：

　　1000=2×2×2×5×5×5=2^3×5^3.

　　找約數(shù)：



　　約數(shù)的個數(shù)是：

　?。?+1）×（3+1）=16（個）.

　　合數(shù)：49000.

　　分解質因數(shù)：

　　49000=2×2×2×5×5×5×7×7=2^3×5^3×7^2

　　找約數(shù)：



　　約數(shù)的個數(shù)：

　　（3+1）×（3+1）×（2+1）=48（個）.

　　有規(guī)律嗎？

　　如果合數(shù)B分解質因數(shù)后是：

　　B=a^m×b^n×c^p×……

　　其中a、b、c……均為質數(shù)，m、n、p……均為自然數(shù).那么，這個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)有多少呢？

　　【規(guī)律】

　　如果合數(shù)B分解質因數(shù)后是：

　　B=a^m×b^n×c^p×……

　　那么，它的約數(shù)個數(shù)有（m+1）×（n+1）×（p+1）×……（個）.

　　【練習】

　　1.下面是一些合數(shù)分解質因數(shù)后的情形.請求出這些合數(shù)的約數(shù)個數(shù).

　　2^2×3^3，2^4×5^2，

　　3^3×5^4，2^2×3^3×5^4，

　　2^10×3^100×5^1000，13^10×17^100×19^1000，

　　2×3×5×7×11，2^1×3^2×5^3×7^4×11^5.

　　2.求出下面每個合數(shù)的約數(shù)個數(shù).

　　144 128 1600 360 4580

　　3.（1）分母是1000的最簡真分數(shù)共有多少個？

　　（2）分子是1001的最簡假分數(shù)共有多少個？

　　4.（1）寫出一個不同的合數(shù)，但跟22×33有一樣多約數(shù)個數(shù).

　?。?）寫出一個也只含有質因數(shù)2和3的合數(shù)，且跟22×32含有的約數(shù)個數(shù)同樣多.

　　5.面積是480平方厘米，長和寬都是自然數(shù)的長方形共有多少個？